De stelling van de Davidsster

Kerstmis is een toepasselijke dag voor deze leuke stelling: de stelling van de Davidsster. Ik las hierover enkele dagen geleden op de blog 360. De stelling zegt:

\gcd \left\{{n-1 \choose k}, {n \choose k-1}, {n+1 \choose k+1} \right\} = \gcd \left\{{n-1 \choose k-1}, {n \choose k+1}, {n+1 \choose k} \right\}

Om te zien waar de stelling zijn naam vandaan haalt, helpt het om de binomiaalcoëfficiënten in de formule voor te stellen in de driehoek van Pascal, zoals bijvoorbeeld op Wolfram Demonstrations Project te zien is:

In dit voorbeeld zijn de twee driehoeken van de Davidsster gecentreerd rond het getal {11 \choose 4} = 330.

MathWorld heeft een uitgebreid artikel over de stelling van de Davidsster, met heel wat achtergrondinformatie en uitbreidingen. De stelling is voor het eerst geformuleerd door H. W. Gould in 1972 en al enkele jaren erna op heel wat manieren gegeneraliseerd. Pas in 2002 werd door Bill Butterworth de band met de driehoek van Pascal ontdekt, en het feit dat {n-1 \choose k} {n \choose k-1} {n+1 \choose k+1} = {n-1 \choose k-1} {n \choose k+1} {n+1 \choose k}.

Post a Comment

Your email is never published nor shared. Required fields are marked *

*

*


« Driehoekige vierkanten
De stelling van de kerstsok »