Operaties op groepen visualiseren

Op de blog Alice and Bob in Cryptoland vond ik enkele interessante visualisaties van operaties op groepen. Een eenvoudig voorbeeld is de groep GF(5), die bestaat uit de getallen 0 tot en met 4 en de optelling modulo 5. Als we 0 voorstellen door zwart, 1 door purper, 2 door rood, 3 door oranje en 4 door geel, kunnen we de tabel van de optelling in GF(5) voorstellen door het volgende rooster:

Maar wat als we nu grotere groepen bekijken? Dit is de vermenigvuldigingstabel van de groep van gehele getallen modulo 509:

Dit soort groepen wordt in encryptiemethodes zoals RSA gebruikt. Zoals je ziet is er echter wel een patroon in te vinden. Daarom is het belangrijk om een grote groep te gebruiken voor RSA, met zeker meer dan 2^{2048} elementen. Een andere encryptiemethode maakt gebruik van de groep van punten op een elliptische kromme over een eindig veld. Zo ziet de optellingstabel eruit voor de punten op de kromme y^2 = x^3 +4x + 1 over GF(503):

Het verschil is opvallend: de elliptische groep ziet er willekeurig uit, er is geen enkel patroon in te zien. Daarom komt men in encryptiemethodes die gebruik maken van elliptische krommen ook toe met groepen met veel minder elementen dan in het geval van RSA. Dit kan allemaal formeel bewezen worden, maar een beeld zegt meer dan duizend formules…

Je kan zelf overigens ook zo’n visualisaties maken met de Python- en Sage-scripts die de auteur van de blogpost op zijn website heeft gezet.

Comments

  1. PelleNo Gravatar" onclick="javascript:urchinTracker( wrote:

    Ah, nu begrijp ik, na al die jaren, die psycho-prentjes op de deuren van de assistenten op departement computerwetenschappen!

Post a Comment

Your email is never published nor shared. Required fields are marked *

*

*