QED

De Fibonacci-getallen (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … elk getal is de som van zijn twee voorgangers) komen op de vreemdste plaatsen voor. Ik was een artikel over Non-Euclidean geometry and Indra’s pearls aan het lezen, en daarin stonden hyperbolische betegelingen, het soort zaken waar wiskunstenaar M.C. Escher zich ook op baseerde voor een aantal van zijn vlakvullingen. In de Euclidische meetkunde kan je het vlak volledig betegelen met regelmatige zeshoeken (afbeelding door David Wright):

Elke ‘laag’ van tegels heeft een andere kleur. Als we het aantal tegels in de opeenvolgende lagen (van binnen naar buiten, de middelste tegel niet meegerekend) tellen, dan bekomen we: 6, 12, 18, 24, … Laag n heeft dus 6n tegels.

In de tweedimensionale hyperbolische meetkunde kan je de Poincaré-schijf volledig betegelen met regelmatige zevenhoeken (afbeelding door David Wright):

Als we nu hetzelfde doen en het aantal tegels in de opeenvolgende lagen tellen, dan bekomen we: 7, 21, 56, 147, … Welk patroon zit er in deze getallen? Elk van deze getallen is 7 maal een Fibonacci-getal. Preciezer: laag n heeft 7F_2n tegels.

De relatie met Fibonacci-getallen wordt nog mooier, iets dat niet in Wrights artikel wordt verteld. Je ziet dat vanaf de tweede laag (in het geel gekleurd) niet alle zevenhoeken even dicht bij het middelpunt liggen. Elke gekleurde laag bestaat feitelijk uit twee sublagen. Wanneer we dus het aantal tegels in deze opeenvolgende (sub)lagen tellen, bekomen we: 7, 7, 14, 21, 35, 56, 91, … En deze reeks is veel eenvoudiger te doorzien omdat elk element gelijk is aan de som van de twee voorgaande. Wanneer we de lagen dus op deze manier bekijken, heeft laag n exact 7F_n tegels.