Wanneer is een getal deelbaar door 7?

Bestaat er een snelle manier om van een getal te bepalen of het deelbaar is door 7? Op Foxmaths! 2.0 vond ik een eenvoudige regel:

  1. Neem het laatste cijfer van het getal en verdubbel dit.
  2. Trek dit af van het getal gevormd door de rest van de cijfers.
  3. Herhaal hetzelfde met het resultaat.

Dit algoritme kan je blijven herhalen totdat het resultaat klein genoeg is om de deelbaarheid op zicht te zien. Wanneer het resultaat deelbaar is door 7, dan was het oorspronkelijke getal dit ook.

Nemen we als voorbeeld het getal 8349: 834 - 2 x 9 = 816. 81 - 2 x 6 = 69. Dit laatste getal is niet deelbaar door 7, dus 8349 ook niet.

Een ander voorbeeld is 6279: 627 - 2 x 9 = 609. 60 - 2 x 9 = 42. Dit is deelbaar door 7, dus 6279 ook.

Deze regel is heel handig omdat het getal in elke stap kleiner wordt. Maar waarom werkt dit? De auteur van Foxmaths legt dit uit met behulp van congruenties, maar het is eigenlijk eenvoudiger uit te leggen. Stellen we ons getal waarvan we de deelbaarheid door 7 willen nagaan voor door 10A + B, dan verandert er niets aan de deelbaarheid door 7 als we hiervan 21B aftrekken. Nu geldt: 10A + B - 21B = 10A - 20B = 10(A - 2B). Aangezien 10 en 7 onderling ondeelbaar zijn, komt het delen van 10A + B door 7 overeen met het delen van A - 2B door 7.

Overigens geeft de blogpost van Foxmaths ook gelijkaardige regels voor de deling door 11 (trek het laatste cijfer af van het getal gevormd door de rest van de cijfers) en 13 (tel vier keer het laatste cijfer op bij het getal gevormd door de rest van de cijfers). Hetzelfde principe kan je voor elk priemgetal uitvoeren, wat een oefening voor de lezer is.

Comments

  1. Alexander van HoornNo Gravatar" onclick="javascript:urchinTracker( wrote:

    Leuk; ik heb er ook een keer over geblogd op http://alexandervanhoorn.nl/blog/deelbaarheid-door-7 .

    Posted 23 Jul 2008 at 5:17 pm

  2. Koen VervloesemNo Gravatar" onclick="javascript:urchinTracker( wrote:

    Interessante blog heb je, ik heb ze toegevoegd aan m’n lijst van wiskundige blogs in de zijbalk.

    Posted 23 Jul 2008 at 5:29 pm

  3. Gerard KoolstraNo Gravatar" onclick="javascript:urchinTracker( wrote:

    Dat 6279 deelbaar is door 7 is natuurlijk ook snel te zien door het te schrijven als 6300 -21 = 900×7-3×7, maar dit terzijde.
    Als methode kun je ook de cijfers van het getal gebruiken.:
    6-2×2+4×7-8×9.
    De volgende coëfficiënt krijg door met -2 te vermenigvuldigen. Die -2 volgt uit de stapsgewijze procedure die hierboven is uitgelegd.
    De berekening kan vereenvoudigd worden door modulo 7 te werken:
    6-2×2+4×7-8×9[=]6-4+0-1×9 = -7. dus deelbaar door 7
    8349 is niet deelbaar door 7, want
    8-2×3+4×4-8×9 [=] 2+16-1×9 =9
    Omdat je modulo 7 werkt kun je als vermenigvuldigingfactoren ook nemen: (vlnr) 1 -2 4 -1 2 -4 etc of desgewenst
    1 -2 -3 -1 2 3 etc.

    Posted 01 Aug 2008 at 7:50 pm

  4. JurjenNo Gravatar" onclick="javascript:urchinTracker( wrote:

    In feite gebruik je dat 98 een veelvoud is van 7. Maar, 1001 is ook een veelvoud van 7, wat het makkelijk maakt om ook erg grote getallen te doen:
    Splits het getal in groepjes van 3 (is meestal al voor je gedaan). Tel de oneven groepjes op, en trek de som van de even groepjes er van af. Dit geeft je een getal van 3 of 4 cijfers. Doe dan de 98-truc die hierboven staat.
    Voorbeeld met 6279: 279-6 = 273. Dan doe je 73+2*2=77, en dat is duidelijk deelbaar door 7.

    Posted 03 Aug 2008 at 10:53 pm

  5. Koen VervloesemNo Gravatar" onclick="javascript:urchinTracker( wrote:

    Interessant Jurjen, bedankt. Voor heel grote getallen geeft de combinatie van de 1001-truc en de 98-truc inderdaad een efficiënte manier om deling door 7 na te gaan. Alleen zal het er wat van afhangen of je vlot kan optellen en aftrekken met getallen van drie cijfers, terwijl je bij consequent gebruik van de 98-truc je berekeningen met kleinere getallen kan doen.

    Posted 04 Aug 2008 at 10:45 am

Post a Comment

Your email is never published nor shared. Required fields are marked *

*

*


« 4 8 15 16 23 42
Concentrische vlechten als screensaver »