QED

Toen ik de Apollonische pakking bestudeerde naar aanleiding van de screensaver Apollonian, ontdekte ik het interessante artikel When Kissing Involves Trigonometry van David Austin. Hierin werd ik geïntrigeerd door het volgende beeld van de Apollonische pakking met krommingen 0, 0, 1 en 1:

Je ziet hierin duidelijk de rij van kwadraten van de natuurlijke getallen: 1, 4, 9, 16, 25, … Ik vroeg me af of het eenvoudig te bewijzen is dat deze rij in deze Apollonische pakking voorkomt. Met andere woorden: als we cirkels met krommingen 0, 1 en een kwadraat hebben, wat is dan de kromming van de cirkel die aan deze drie cirkels (waarvan één een rechte, namelijk met kromming 0) raakt? Dit blijkt verrassend eenvoudig af te leiden zijn. Een schets van het bewijs volgt hier. Herinneren we ons de stelling van Descartes, die de relatie tussen de vier krommingen geeft:

Wanneer we drie rakende cirkels hebben, kunnen we de kromming van de twee mogelijkheden voor de vierde rakende cirkel dus als volgt berekenen:

We kunnen dit echter nog vereenvoudigen, omdat één van onze krommingen 0 is (we hebben een rechte lijn). Stellen we k₃ gelijk aan 0, dan wordt onze formule:

We zoeken dus k₄ waarbij k₁ = 1 en k₂ = n². Vullen we deze waarden in, dan bekomen we:

Beginnen we dus tussen onze twee lijnen met de cirkels met krommingen 1 en 1, dan bekomen we de cirkel met kromming 4 (of met kromming 1). Gaan we verder met de cirkels met krommingen 1 en 4, dan bekomen we de cirkel met kromming 9 (of met kromming 1), gaan we verder met 1 en 9, dan bekomen we de cirkel met kromming 16 (of met kromming 4). Telkens bekomen we het volgende en het vorige kwadraat als nieuwe kromming in de rij.

Op een gelijkaardige manier kan je berekenen dat de verticale rij van krommingen die je ziet (4, 12, 24, 40, …) gegeven wordt door de formule 2n² + 6n + 4, maar dit is al heel wat minder interessant.

Nu vraag ik me af of er nog andere interessante getallenreeksen bekend zijn in Apollonische pakkingen. Kent iemand er nog?