QED

Normaal bereken je de oppervlakte van een driehoek als basis × hoogte gedeeld door 2. Als je de lengtes van de drie zijden gegeven hebt, is de formule van Heron echter eenvoudiger:

Hierin zijn a, b en c de lengtes van de drie zijden van de driehoek en is s gelijk aan de helft van de omtrek van de driehoek.

De formule van Heron wordt toegeschreven aan Heron van Alexandrië, die ze beschreef in zijn boek Metrica (ca. 60 na Chr.). Voor ons is de formule niet zo speciaal (ze is immers eenvoudig te bewijzen met behulp van de stelling van Pythagoras of de cosinusregel), maar in de oudheid was ze vrij vernieuwend, aldus Luke Hodgkin in A history of mathematics: From Mesopotamia to Modernity (p. 64):

The formula [...] is very unusual in Greek mathematics in that it requires you to multiply four lengths and take the square root. While you could think of the product of three lengths as a volume, the product of four has no meaning in Greek terms—and Omar Khayyam was still dismissing such ideas a thousand years later. (In his Algebra; [...])

In de oudheid bewezen de Grieken zo’n stellingen in het algemeen niet met onze hedendaagse mix van algebra en driehoeksmeetkunde, maar met puur meetkundige constructies. Er was thinking outside the box nodig om tot de formule van Heron te komen. Het vermoeden bestaat overigens dat Archimedes (in de derde eeuw voor Christus!) de formule al kende.

Andere formuleringen

Door de variabele s uit de formule weg te werken, kan je een aantal equivalente formuleringen bekomen. Er bestaat zelfs een formulering in functie van een determinant van een symmetrische matrix:

Of deze nog symmetrischer vorm:

Een andere formule bekomen we als volgt: neem een driehoek ABC met lengtes van de zijden a, b en c. Construeer nu drie cirkels met middelpunten A, B en C zodat elke cirkel de twee andere raakt. De stralen van de cirkels zijn respectievelijk a’, b’ en c’:

Dan geldt:
a = b’ + c’
b = a’ + c’
c = a’ + b’

Substitueren we dit in de formule van Heron, dan bekomen we de volgende mooie formule voor de oppervlakte van de driehoek ABC in functie van de stralen van de cirkels:

Veralgemeningen

De formule van Heron is overigens een speciaal geval van de formule van Brahmagupta, die de oppervlakte van een koordenvierhoek geeft in functie van de lengtes van zijn zijden:

De variabele s is hier weer de helft van de omtrek van de koordenvierhoek. Wanneer d gelijk aan nul is, hebben we te maken met een driehoek en bekomen we de formule van Heron.

De wiskundige David P. Robbins werkte in de laatste dagen van zijn leven nog aan een generalisatie van de formule van Heron voor n-hoeken. Hij leefde niet lang genoeg om de ontdekking van de algemene formule mee te maken, maar twee medewerkers van hem slaagden er niet lang daarna wel in. Hun resultaat is te lezen in F. Miller Maley, David P. Robbins & Julie Roskies, “On the areas of cyclic and semicyclic polygons”, in Advances in applied mathematics, Vol. 34, No. 4, pp. 669-689 (2005).