QED

Vorige week was de Belgische wiskundige Ingrid Daubechies, die al 15 jaar professor is aan Princeton University, even terug in België. Ze ontving nameliijk een eredoctoraat van de Universiteit Hasselt, die haar huldigde met de woorden:

Limburgse wis- en natuurkundige die de wereld veranderde. Zonder haar wavelet-theorie bestonden er nu geen JPEG-bestanden. Haar werk liet de FBI ook toe zijn reusachtig archief met vingerafdrukken te ontsluiten.

Vorige week donderdag gaf Daubechies in Hasselt de lezing Surfen met wiskundige golfjes, van FBI tot Van Gogh, die echt de moeite was. Ze legde met een hele boel illustraties uit hoe wavelets kunnen worden gebruikt om complexe signalen of beelden te analyseren en te reconstrueren. Ze besprak ook hoe het FBI in het midden van de jaren 1990 een compressiealgoritme op basis van wavelets heeft ontwikkeld om vingerafdrukken efficiënt op te slaan en hoe JPEG2000 wavelets gebruikt. Tot slot ging ze in op een project waarbij ze wavelets gebruikt om schilderijen van Van Gogh te analyseren.

Ter illustratie heb ik eens in de Wavelet Toolbox van Scilab een wavelet-transformatie toegepast op een foto die Daubechies op haar website heeft staan. De linkerblokken extraheren horizontale “features” van de foto (haar mond, ogen, neusgaten, bril), de bovenste blokken extraheren verticale features (hals, kaak, tanden, neus, bril) en de blokken op de diagonaal extraheren diagonale features:

Over de wiskunde achter wavelets en hun toepassingen, zoals het bovenstaande voorbeeld dat in beeldcompressie gebruikt wordt, zal ik het echter later hebben. Ik zal hier nu even stilstaan bij de inleiding van haar lezing, die eerder filosofisch was.

Zuivere en toegepaste wiskunde

Wavelets vormen eigenlijk een onderdeel van toegepaste wiskunde, begon Daubechies haar filosofische noot, en ze legt toegepaste wiskunde uit als “het gebruiken van abstracte wiskunde in de natuur- of ingenieurswetenschappen.” In het algemeen beschouwen wiskundigen zuivere wiskunde als iets dat ‘prachtig’ moet zijn, terwijl toegepaste wiskunde minder mooi is. Daubechies ziet echter geen verschil tussen zuivere en toegepaste wiskunde, zoals ik eerder al op mijn andere blog schreef. Toegepaste wiskunde kan evenzeer mooi zijn als zuivere wiskunde.

Zuivere wiskunde wordt bovendien soms geboren uit toepassingen. Daubechies gaf het voorbeeld van Fourieranalyse. De Franse wiskundige Joseph Fourier loste namelijk in 1822 een vraagstuk over de warmteverdeling over de tijd in een staaf op (zijn “Théorie analytique de la chaleur”), en daaruit werd de Fourieranalyse geboren. De oplossing van zijn vraagstuk werd geabstraheerd en beter uitgewerkt tot “prachtige zuivere wiskunde”, zegt ze. “Nadien werd de Fourieranalyse toegepast op andere vraagstukken, en die toepassingen brachten een verlies van zijn mooie structuur met zich mee, zoals bijvoorbeeld afrondingen.”

Wavelets daarentegen zijn eigenlijk niet uit toepassingen geboren. Ze vormen een synthese van ideeën uit verschillende stromingen, zoals wiskunde, informatica en fysica. Dit startte met werk van Alfred Haar in het begin van de twintigste eeuw en kwam tot een stroomversnelling in de jaren 1980. Hieruit kwam een nieuwe theorie, “mooi en zuiver”. Maar toen onderzoekers wavelets gingen toepassen op beeldverwerking, werd de wiskunde volgens Daubechies weer minder mooi.

De kersverse eredoctoranda zei echter dat ze dit anders aanpakt: “Ik wil wiskunde altijd zonder geknoei toepassen. Bij elke toepassing vraag ik me dan ook af: welke wiskunde heb ik hiervoor nodig? Op deze manier zijn de Daubechies-wavelets ontstaan, die ik overigens zelf nooit mijn naam geef.” Op die manier kan nieuwe technologie (zoals beeldverwerking en andere technieken in de informatica) tot nieuwe, mooie wiskunde leiden. En dat is natuurlijk goed nieuws voor wiskundigen in deze tijd waarin technologie zo’n belangrijke rol speelt…