De stelling van Gauss-Lucas at QED

De stelling van Gauss-Lucas

Nog altijd geïnspireerd door de stelling van Marden ben ik op ontdekkingstocht in de complexe analyse. Een bekende stelling in de reële analyse is de stelling van Rolle:

Stelling van Rolle: Als een reële functie f continu is op een gesloten interval [a, b], differentieerbaar op het open interval ]a, b[ en f(a) = f(b), dan bestaat er een reëel getal c in het open interval (a, b) zodat f’(c) = 0.

In een afbeelding ziet dit er zo uit:

Als we a en b zo kiezen dat f(a) = f(b) = 0, dan betekent dit dat de reële nulpunten van de afgeleide van f in het interval liggen waarin de reële nulpunten van f liggen. Sterker nog: tussen elke twee reële nulpunten van f ligt een reëel nulpunt van f’.

Wanneer we nu naar complexe functies gaan in plaats van reële en ons beperken tot veeltermen, komen we een mooie stelling tegen:

De stelling van Gauss-Lucas: De convexe omhullende van de nulpunten van een veelterm p bevat alle nulpunten van zijn afgeleide, p’.

Wanneer we alle nulpunten van een complexe veelterm weten liggen in het complexe vlak, weten we dus direct in welk gebied de nulpunten van de afgeleide liggen. Net zoals bij de stelling van Marden hebben we hier een meetkundige relatie tussen de nulpunten van een complexe veelterm f en de nulpunten van zijn afgeleide f’. Een gevolg van de stelling van Gauss-Lucas is ook dat als alle nulpunten van f een positief reëel deel hebben, dat de nulpunten van f’ ook een positief reëel deel hebben.

Op het Wolfram Demonstrations Project staat een demonstratie waar je zelf de stelling in werking kan zien op een complexe veelterm van graad 8. Je ziet er niet alleen de nulpunten van de afgeleide van f, maar ook van de tweede, derde en hogere afgeleides. Een voorbeeld:

Trackbacks & Pings

ISO-standaard voor wiskundige symbolen at QED on 20 May 2008 at 1:15 pm

[...] Bert wees me er in een commentaar op mijn blogpost van gisteren op dat mijn notatie (a, b) voor een open interval ambigu is, omdat dat ook kan staan voor het koppel (a, b). De ‘juiste’ notatie voor een open interval is ]a, b[. Bert heeft natuurlijk gelijk, want hij is wiskundeleraar Ik ben het dan ook even gaan opzoeken wat de verschillende notaties zijn en zo stuitte ik op de standaard ISO 31-11. Dit is een internationale standaard (opgemaakt door de International Organization for Standardization), die wiskundige tekens en symbolen definieert, vooral voor gebruik in natuurwetenschappen en technologie. [...]

Comments

Bert wrote:

Gebruik jij altijd de notatie (a, b) om het open interval met ondergrens a en bovengrens b aan te duiden? Ik weet dat die notatie aan de universiteiten veelvuldig gebruikt wordt en ook in de vakliteratuur vaak voorkomt, maar persoonlijk geef ik hier de voorkeur aan de notatie ]a, b[, omdat (a, b) ook nog een andere betekenis heeft, namelijk het koppel (a, b).

Posted 19 May 2008 at 4:11 pm ¶
Arno van Asseldonk wrote:

Zelf gebruik ik altijd gebroken haken om een open interval aan te duiden.

Posted 19 May 2008 at 7:56 pm ¶
Koen Vervloesem wrote:

Dat klopt, en eigenlijk is de notatie die jij vermeldt een ISO-standaard, dus ik heb het veranderd in mijn tekst.

Posted 20 May 2008 at 12:45 pm ¶
Bert wrote:

Als ik denk aan het aantal nulpunten van een veeltermfunctie en het lokaliseren ervan, denk ik spontaan aan de Stelling van Sturm en de gevolgen ervan… Ik herinner me nog (vaag) van in mijn studententijd dat het een minder gekende, maar evenwel vrij praktische eigenschap was. Misschien interessant voor een volgende topic op je weblog?

Posted 20 May 2008 at 6:24 pm ¶

QED