QED

Kalmans artikel over de meest wonderbaarlijke wiskundige stelling leerde me nog een mooie stelling over afgeleiden: het gemiddelde van de nulpunten van een veelterm is gelijk aan het gemiddelde van de nulpunten van zijn afgeleide. Het bewijs is eenvoudig:

De som van de nulpunten van de veelterm a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 + … + a₁z + a₀ is gelijk aan -a_n-1/a_n. Het gemiddelde van deze n nulpunten is dus gelijk aan -a_n-1/na_n.

Voor de afgeleide van de veelterm geldt nu dezelfde redenering. De som van de nulpunten van de veelterm na_nz^n-1 + (n-1)a_n-1z^n-2 + … + a₁ is gelijk aan -(n-1)a_n-1/na_n. Het gemiddelde van deze n-1 nulpunten is dus gelijk aan:

QED.