De meest wonderbaarlijke wiskundige stelling
Wat is de meest wonderbaarlijke wiskundige stelling die je kent? Volgens Dan Kalman van American University is dit de stelling van Marden:
De stelling van Marden: Wanneer z1, z2 en z3 de nulpunten zijn van de derdegraads veelterm f met complexe coëfficiënten, dan zijn de nulpunten van de afgeleide f’, w1 en w2, de brandpunten van de ingeschreven ellips die de driehoek z1z2z3 raakt in de middens van de zijden.
Een plaatje maakt dit duidelijk:
Deze stelling zegt dus exact waar de nulpunten van een afgeleide in het complexe vlak liggen, wanneer je de nulpunten van de functie zelf gegeven hebt. Blijkbaar is er een verband tussen enerzijds een derdegraads veelterm en zijn afgeleide en anderzijds de op het eerste gezicht volledig ongerelateerde concepten van een ellips en zijn brandpunten.
Kalman schrijft in Math Horizons:
What makes a theorem great? There are many factors that contribute: generality, utility, power, symmetry. But for me, a great theorem is one that surprises. If you have ever read the statement of a theorem that made you exclaim “No Way!” then you know what I mean.
Toen ik Kalmans artikels over de stelling van Marden las, was ik ook erg verrast. Het gaat om vrij eenvoudige concepten: veeltermen, afgeleiden, complexe getallen, ellipsen, brandpunten, al deze wiskundige concepten leer je in de middelbare school. Toch ben ik tot nu toe nooit deze stelling tegengekomen. Kalman schrijft over deze verrassende stelling:
Isn’t that amazing? Does it compel you to ask why? How can it be that the connection between a polynomal and its derivative is somehow mirrored perfectly by the connection between an ellipse and its foci? Seeing this result for the first time is like watching a magician pull a rabbit out of a hat. After thinking about it off and on for about thirty years, I still have that reaction. That is why this is my favorite theorem.
In het aprilnummer van The American Mathematical Monthly geeft Kalman een elementair bewijs van de stelling, terwijl hij in The Journal of Online Mathematics and Its Applications een online presentatie geeft die heel toegankelijk is.
Referenties:
- Dan Kalman, The Most Marvelous Theorem in Mathematics, The Journal of Online Mathematics and Its Applications, Vol. 8 (maart 2008)
- Dan Kalman, The Most Marvelous Theorem in Mathematics, Math Horizons, pp. 16-17 (april 2008)
- Dan Kalman, An Elementary Proof of Marden’s Theorem, The American Mathematical Monthly, pp. 330-338 (april 2008)
- Ivars Peterson, The Most Marvelous Theorem, The Mathematical Tourist (9 mei 2008)
- Bruce Torrence, Marden’s Theorem, The Wolfram Demonstrations Project
![No Gravatar" onclick="javascript:urchinTracker(](http://www.gravatar.com/avatar/4eb672e585c7b8875b8014f46a06e975?rating=X&default=http://pub.mybloglog.com/coiserv.php?href="mailto:herman@hermanboel.eu&n=herman@hermanboel.eu){kind=small}
![No Gravatar" onclick="javascript:urchinTracker(](http://www.gravatar.com/avatar/8f061296ca33b4003a0bf3452b602676?rating=X&default=http://pub.mybloglog.com/coiserv.php?href="mailto:kvervloesem@gmail.com&n=kvervloesem@gmail.com){kind=small}
wrote:![No Gravatar" onclick="javascript:urchinTracker(](http://www.gravatar.com/avatar/0eb178cec364c022a189c3814e5f7483?rating=X&default=http://pub.mybloglog.com/coiserv.php?href="mailto:asd@asd.com&n=asd@asd.com){kind=small}
wrote:
Het gemiddelde van de nulpunten at QED on 14 May 2008 at 12:51 pm
[...] Kalmans artikel over de meest wonderbaarlijke wiskundige stelling leerde me nog een mooie stelling over afgeleiden: het gemiddelde van de nulpunten van een veelterm is gelijk aan het gemiddelde van de nulpunten van zijn afgeleide. Het bewijs is eenvoudig: [...]
De stelling van Gauss-Lucas at QED on 20 May 2008 at 12:46 pm
[...] Nog altijd geïnspireerd door de stelling van Marden ben ik op ontdekkingstocht in de complexe analyse. Een bekende stelling in de reële analyse is de stelling van Rolle: Stelling van Rolle: Als een reële functie f continu is op een gesloten interval [a, b], differentieerbaar op het open interval ]a, b[ en f(a) = f(b), dan bestaat er een reëel getal c in het open interval (a, b) zodat f’(c) = 0. [...]