QED

Een anekdote over een gesprek tussen Mozart en Keizer Jozef gaat als volgt: de keizer complimenteert de componist met zijn muziek, maar zegt dat er te veel noten waren. Mozart antwoordt dat er geen enkele noot mag ontbreken. In het artikel Self-similarity of the “1/f noise” called music argumenteren Kenneth J. Hsu en Andrew Hsu echter dat Mozarts stuk gerust nog slechts de helft van de noten kon hebben en tegelijk nog altijd als Mozart kon klinken. Zij bestudeerden immers de zelfgelijkvormigheid van muziek, wat een typische eigenschap is van fractals. Volgens de auteurs kunnen we heel wat (klassieke) muziek op verschillende schalen voorstellen, net zoals fractals.

Hsu en Hsu vergelijken in hun artikel de ‘fractalmeetkunde’ van een muziekstuk met dat van een kustlijn. Als je de kustlijn van een land op verschillende schaalgroottes bekijkt, blijkt dat de lengte op kleinere schaalgroottes onbegrensd groot wordt. Dit fenomeen staat bekend als de kustlijnparadox. Net zoals de kustlijn van een land geen goed gedefinieerde lengte heeft, heeft een muziekstuk van bijvoorbeeld Bach eigenlijk geen goed gedefinieerd aantal noten.

De auteurs hebben dit met Bachs Inventio No. 1 in C Major, BWV 772 uitgeprobeerd. Ze digitaliseerden de noten en reduceerden het aantal noten achtereenvolgens met een factor 2, 4, 8, … Over deze gereduceerde versies van de muziek schrijven ze:

A half or quarter reduction of notes seems to give an outline of the music as it was written by Bach. The reader can find the audio self-similarity by playing the reduced notes on a piano, as we did. To a novice, the half- or quarter-Bach sounds like Bach, although he gains the impression that the composition has an economy of thrills and ornamentations. Further reductions to 1/8, 1/16, and 1/32 tend to eliminate more of the “irregularity of the silhouette,” yet the distinguishing overall line of the music landscape is preserved. The final reduction to 1/64 gives only three notes; they are the three key notes, the foundation upon which the whole composition is built.

De auteurs zien deze fractalstructuur van muziek als een mooi hulpmiddel om ’samenvattingen’ van muziekstukken te maken, “for novices like Emperor Joseph, who enjoy music but have too little understanding or too little time to listen to the original scores.” Daarnaast geeft de fractalstructuur ons meer inzicht in de muziek en maakt het mogeljk om door een computer muziek te laten componeren in bijvoorbeeld een onvervalste Bach-stijl.

Referentie: Kenneth J. Hsu & Andrew Hsu, Self-similarity of the “1/f noise” called music, Proceedings of the National Academy of Sciences, Vol. 88, pp. 3507-3509 (april 1991)