QED

In het februarinummer van de Notices of the American Mathematical Society kondigt wiskundige Toshikazu Sunada een nieuwe kristalstructuur aan die dezelfde symmetrie-eigenschappen heeft als de diamantstructuur. In het artikel Crystals That Nature Might Miss Creating legt hij uit hoe hij tot deze ontdekking gekomen is.

Een kristalstructuur kunnen we wiskundig beschouwen als een oneindige graaf. De atomen zijn dan de knopen (“vertices”) en de chemische bindingen ertussen de bogen (“edges”) in de graaf. Een kristal is nu opgebouwd uit een basisgraaf waarvan kopieën op een periodische wijze aan elkaar gehangen worden. Er zijn dus twee patronen in een kristal: het patroon van de bindingen tussen de atomen en het periodieke patroon van de kopieën. Door het variëren van de basisgrafen en de manier waarop ze aan elkaar hangen kan je een oneindig aantal kristallen definiëren.

De kristalstructuur van een diamant heeft twee speciale eigenschappen die het onderscheiden van andere kristallen. De eerste eigenschap gaat over het periodieke patroon van de basisgrafen en heet maximale symmetrie. Wanneer je een niet zo symmetrisch kristal vervormt zonder de chemische bindingen te verbreken en zonder de periodiciteit te veranderen, kan je tot een meer symmetrische structuur komen. Voor het diamantkristal is er geen enkele manier om het te vervormen zodat het symmetrischer wordt. De diamant heeft maximale symmetrie.

Een tweede speciale eigenschap van de diamant is sterke isotropie. Wanneer je de diamantstructuur bekijkt vanuit de richting van één van zijn bogen en het kristal roteert naar een richting van een andere boog, dan ziet het er hetzelfde uit.

Van alle kristallen die wiskundig gezien te construeren zijn, is er slechts één ander kristal dat deze twee eigenschappen met de diamant deelt. Sunada heeft dit het K₄-kristal genoemd, omdat het gebaseerd is op de basisgraaf K₄ (de zogenaamde volledige graaf met vier knopen), die bestaat uit vier knopen waarvan elke paar knopen door een boog is verbonden:

Het is echter nog niet duidelijk of dit kristal in de natuur voorkomt of kan gesynthetiseerd worden. Mooi is het alleszins. Hisashi Naito creëerde de volgende grafische voorstelling van het K₄-kristal: