QED

In mijn categorie van stellingen met vreemde namen kan de dronken-vogelstelling natuurlijk niet ontbreken. Eigenlijk heet de stelling zo niet officieel, maar de blog God Plays Dice besprak ze enkele maanden geleden onder die naam. Het is een stelling over stochastische wandelingen die informeel kan uitgelegd worden met de uitspraak “Een dronken man vindt altijd zijn weg naar huis, maar een dronken vogel kan voor altijd verloren geraken.”

Dit gaat als volgt. In twee dimensies kunnen we ons een stochastische wandeling voorstellen als een dronken persoon die op het punt (0, 0) begint en bij elke stap willekeurig naar het noorden, oosten, zuiden of westen gaat: respectievelijk met relatieve coördinaten (0, 1), (1, 0), (0, -1) of (-1, 0). Je kan berekenen wat ervoor nodig is om uiteindelijk terug op (0, 0) te komen. De waarschijnlijkheid dat dit gebeurt blijkt 1 te zijn. Conclusie: onze dronkeman komt uiteindelijk altijd thuis.

In het driedimensionale geval liggen de zaken anders. Stel je een dronken vogel voor die begint op het punt (0, 0, 0), in drie dimensies kan bewegen en bij elke vleugelslag in een willekeurige richting vliegt. Is nu de kans dat hij uiteindelijk terugkomt op zijn beginpunt ook 1? Dit blijkt niet zo te zijn, waardoor we concluderen dat een dronken vogel wel eens voorgoed verloren kan geraken. De moraal van het verhaal? Word niet dronken in de ruimte…