QED

Na Terence Tao blogt nu ook Fieldsmedaillewinnaar Timothy Gowers. De man doet vooral onderzoek in analyse en combinatoriek, maar is ook geïnteresseerd in algemene vragen over wiskunde, zoals hoe wiskunde ontdekt en doorgegeven wordt. In zijn eerste blogpost schrijft hij over de Princeton Companion to Mathematics, waarvan hij editor is. Daarna lanceerde hij het idee van een wiki van wiskundige trucs.

In zijn blogpost van gisteren heeft hij het over de pedagogische aspecten van hoe het concept logaritme best uitgelegd wordt. Traditioneel legt men eerst de betekenis van logaritmes uit en leidt daaruit de eigenschappen af. Zo zegt de Wikipedia-pagina “De logaritme voor het grondtal a van een getal x is de macht waartoe men het grondtal moet verheffen om x als uitkomst te krijgen.” Minstens 90% van de kinderen die op deze manier over logaritmes leren, blijven echter volgens Gowers elementaire fouten maken zoals log(a+b)=log(a)+log(b). Hij zou het op een andere manier uitleggen. Begin met de observatie dat de notie van vermenigvuldigen van a x’en geen zin heeft wanneer a geen positief geheel getal is, zegt hij, en focus dan op de definiërende eigenschappen van de exponentiële en logaritmische functies, zoals log(ab)=log(a)+log(b). Het gevolg is volgens Gowers:

If these were presented as in some sense defining the concepts of exponentiation and logarithms, then a number of traditional mistakes would be less likely to occur (and when they did, you could just say, “You’ve forgotten the definition” rather than, “You don’t understand the meaning of this concept if you could make a mistake like that”).

Algemener vindt Gowers dat wiskundigen meer op een syntactische manier werken dan ze denken. Voor logaritmes betekent dit:

When you actually write an argument using logs, you almost always use the familiar properties of the function (including more advanced properties, such as that it grows slowly) and not this direct contact with the meaning of the function. To put that more precisely, you don’t have to say to yourself things like, “This is the number x such that, if I raise e to the power x, I get a.” You don’t even need to say that when you take exp of a log—you just use the syntactic rule that exp and log cancel.