QED

Michael Harris probeert in zijn binnenkort te verschijnen artikel “Why mathematics?” You might ask een antwoord te geven op waarom we wiskunde beoefenen. Hij grijpt hiervoor terug naar een lezing van André Weil in 1978 op het Internationaal Congres voor Wiskundigen, waarin de wiskundige er nog vanaf kwam door te zeggen dat hij op deze vraag wel niet hoefde te antwoorden voor zijn publiek van wiskundigen. Anderen waren echter wel een antwoord schuldig op die vraag. In 1991 bijvoorbeeld vroeg het House Committee on Science, Space, and Technology aan de American Mathematical Association de vraag “What are the main goals in the mathematical sciences?” Het comité van twaalf wiskundigen, dat er uiteraard rekening mee hield dat de vraag kwam van de overheidsdienst die verantwoordelijk was voor de onderzoeksbudgetten, kwam tot het volgende antwoord:

The most important long-term goals for the mathematical sciences are: provision of fundamental tools for science and technology, improvement of mathematics education, discovery of new mathematics, facilitation of technology transfer, and support of efficient computation.

Hij waarschuwt wel om niet te vervallen in het andere uiterste, een relativistische en postmoderne opvatting op wiskunde als “just another set of narratives” (p. 4).
Harris merkt op dat dit lijstje van doelen er uiteraard helemaal anders zou uitzien als wiskundigen de vraag tegenover andere wiskundigen beantwoorden.

Terwijl wiskunde vroeger als summum van zekerheid gezien werd, hebben wiskundigen sinds Gödels onvolledigheidsstellingen toch wat gas moeten teruggeven. Bertrand Russell beschrijft hoe hij in zijn jonge tijd zekerheid in de wiskunde zocht zoals anderen geloof zochten in religie, maar daarin al vlug teleurgesteld werd. Russells naïeve verlangen naar zekerheid echoot volgens Harris echter nog bij vele wiskundigen. Zo citeert hij Abelprijswinnaar Jean-Pierre Serre, die zei dat wiskunde de enige producent van “volledig betrouwbare en verifieerbare” waarheden is. Bovendien besliste Landon T. Clay III de naar hem genoemde Clay Millennium Prize aan wiskunde te wijden omdat met “the decline in religious certitude … the pursuit of proof continues to be a strong motivating force in human actions.” Harris maakt zich terecht zorgen over deze uitspraken:

I would like to express my opinion that the bargain, placing mathematicians on the front lines in defense of metaphysical certainty or any other normative concern of philosophers, is an unnecessary burden that fails to do justice to what is uniquely valuable about mathematics. It also fails to protect pure mathematics from real existential dangers, of which budget cuts are only the most obvious expression. Mathematics is not in danger of collapse for lack of a coherent account of its certainty; but it may well collapse for lack of an account of its value.

Inderdaad, die nadruk op zekerheid verbergt waarover het in de wiskunde écht gaat: inzicht. Harris illustreert dit met Grigori Perelmans aangekondigde bewijs van het Poincarévermoeden. Wat gebeurt er eigenlijk door de wiskundigen die het bewijs nakijken om het tot wiskundige kennis te promoveren? Volgens Harris (p. 9):

“certifying knowledge,” in Rosental’s sense, is as such relatively unimportant to mathematicians, and I suspect Perelman’s close readers would describe what they are doing as attempting to understand his proof rather than “certifying” it as knowledge (for the sake of the community, or a generous benefactor, or philosophers or sociologists).

Toch lijkt filosofie van de wiskunde zich obsessief bezig te houden met die zekerheid en andere aspecten die eigenlijk helemaal niet tot de kern van de wiskunde behoren. Harris citeert de filosoof David Corfield uit zijn schitterende boek Towards a Philosophy of Real Mathematics (2003):

By far the larger part of activity in what goes by the name philosophy of mathematics is dead to what mathematicians think and have thought, aside from an unbalanced interest in the ‘foundational’ ideas of the 1880-1930 period, yielding too often a distorted picture of
that time.

De traditionele filosofie van de wiskunde stelt inderdaad vragen als wat is wiskundige waarheid, verwijzen wiskundige termen of uitspraken naar bepaalde objecten? Zoja, wat voor objecten zijn dat? Filosofen als Philip Kitcher daarentegen stellen voor wiskundigen veel relevanter vragen zoals hoe groeit wiskundige kennis, wat is wiskundige vooruitgang, wat maakt bepaalde wiskundige ideeën beter dan anderen en wat zijn wiskundige verklaringen? Toch gaan heel wat filosofen en sociologen er nog van uit dat wiskundigen waarheid of kennis creëren, in plaats van wiskunde. Computerbewijzen en probabilistische argumenten waren voor deze academici dan ook een reden om te twijfelen aan de zekerheid die een bewijs geeft en daarom van een revolutie in de wiskunde te spreken. Volgens Harris zijn deze vragen echter naast de kwestie (p. 12):

The basic unit of mathematics is the concept rather than the theorem, [...] the purpose of a proof is to illuminate a concept rather than merely confirm a theorem, and [...] the replacement of deductive proofs by probabilistic or mechanical proofs should be compared, not to the introduction of a new technology for producing shoes, say, but rather to the attempt to replace shoes by the sales receipts, or perhaps the cash profits, of the shoe factory.

Ik ben het volmondig met Harris eens dat wiskundige concepten in de praktijk belangrijker zijn dan stellingen. Nadat een bepaalde stelling bewezen is, verliezen wiskundigen hun interesse daarin niet, maar proberen ze op andere manieren te bewijzen om er meer inzicht in te krijgen. Vaak hebben de in het bewijs gebruikte concepten ook een grote invloed op de inzichtelijkheid van het bewijs. Harris ijvert dan ook voor meer aandacht voor wiskundige concepten (p. 12-13):

I am very much tempted to say that the concepts that serve as material for“one of humankind’s longest conversations,” deserve to be appreciated on their own terms.

Hij citeert ook David Corfield, een citaat waar ik in mijn artikel over wiskundige concepten in computerbewijzen ook naar verwijs (Corfield p. 56):

What mathematicians are largely looking for from each other’s proofs are new concepts, techniques and interpretations.

Verder spreekt Harris nog over de echtheid van de ideeën die wiskundigen hebben:

Nothing in the life of mathematics has more of the attributes of materiality than (lower-case) ideas. They have “features” (Gowers), they can be “tried out” (Singer), they can be “passed from hand to hand” (Corfield), they sometimes “originate in the real world” (Atiyah) or are promoted from the status of calculations by becoming “an integral part of the theory” (Godement).

Volgens Harris hebben wel een aantal filosofen “structuur” in de wiskunde proberen te onderzoeken en zijn er zelfs filosofische besprekingen van schoonheid in de wiskunde, maar het gebruik van spatiotemporele metaforen is volgens hem nog bijna niet opgemerkt door filosofen. (p. 16) Tot slot citeert hij Corfield nog eens, die aangeeft wat filosofen van de wiskunde nog voor taak wacht (Corfield p. 39):

Human mathematicians pride themselves on producing beautiful, clear, explanatory proofs, and devote much of their effort to reworking results in conceptually illuminating ways. Philosophers must not evade their duty to treat these value judgments in mathematics.