QED

De Mandelbrotfractal herbergt zoveel interessante wiskunde, dat ik nog elke keer versteld sta wanneer ik iets nieuws ontdek. Zo lees ik op de blog FoxMaths een intrigerende connectie tussen de Catalangetallen en de Mandelbrotfractal.

De Catalangetallen (genoemd naar een Belgische wiskundige) vormen de volgende reeks:

De reeks begint als volgt: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, … De Catalangetallen C_n komen vooral tevoorschijn in de combinatoriek, bijvoorbeeld als het aantal expressies met n paren haakjes die correct genest zijn. Voor C₃ = 5 is dit:

((()))     ()(())     ()()()     (())()     (()())

C_n is ook gelijk aan het aantal verschillende manieren om een convexe veelhoek met n + 2 zijden in driehoeken op te delen door hoekpunten te verbinden met rechte lijnen.

Nu eventjes terug naar de Mandelbrotverzameling. Ter herinnering: de Mandelbrotverzameling is een verzameling van complexe getallen gedefinieerd door de iteratieve functie f(z) = z² + c. Op elk complex getal c van het complexe vlak voeren we deze functie herhaaldelijk uit. We beginnen met z = 0 en vullen dan het getal c in. Dit geeft een nieuwe waarde voor z en die vullen we samen met c in om een nieuwe z te krijgen. We herhalen dit en bekijken hoe |z| evolueert. Er zijn twee mogelijkheden: ofwel blijft deze kleiner dan 2, ofwel gaat ze naar oneindig. Blijft deze kleiner dan 2, dan behoort het punt c tot de Mandelbrotverzameling. Wordt |z| groter dan 2, dan behoort het punt c niet tot de Mandelbrotverzameling. Anders gezegd: de Mandelbrotverzameling is de verzameling van punten c waarvoor de verzameling {0, |f(0)|, |f(f(0))|, |f(f(f(0)))|, …} begrensd is.

In mijn artikel in nummer 200 van PC-Active beschreef ik de lemniscaten van de Mandelbrotfractal, die elk een deel van de Mandelbrotverzameling voorstellen:

L1(C): C = 2
L2(C): C^2 + C = 2
L3(C): (C^2 + C)^2 + C = 2

Deze vergelijkingen gaan over groottes C = |z|. Schrijven we nu |z| in functie van x en y voor een complex getal z = x + iy, dan krijgen we:

L1(C): x^2 + y^2 = 4

Dit is de vergelijking van de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 2.

L2(C): (x^2 + y^2)((x+1)^2 + y^2) = 4

Dit is het eivormige gedeelte van de Mandelbrotfractal. De vergelijkingen van de volgende lemniscaten worden steeds ingewikkelder en benaderen steeds beter de Mandelbrotverzameling. De lemniscaat voor n oneindig is de Mandelbrotverzameling zelf.

In plaats van de opeenvolgende lemniscaten in cartesische coördinaten uit te drukken, kunnen we ook de Mandelbrotveelterm in functie van c uitrekenen:

z₀ = 0
z₁ = c
z₂ = c² + c
z₃ = (c² + c)² + c
z₄ = ((c² + c)² + c)² + c

Vereenvoudigen we dit, dan krijgen we bijvoorbeeld voor z₄ = c + c² + 2c³ + 5c⁴ + 6c⁵ + 6c⁶ + 4c⁷ + c⁸.

Kijk nu naar de coëfficiënten van deze vergelijking: 1, 1, 2, 5, … De eerste vier zijn de Catalangetallen die we hiervoor tegenkwamen. Wanneer we de iteratie z_n = z_n-1² + c voor grotere n uitrekenen, blijkt dat telkens de coëfficiënten van de eerste n termen overeenkomen met de n eerste Catalangetallen. Als n naar oneindig gaat, convergeert de iteratieve formule van de Mandelbrotverzameling naar het product van c met de genererende functie van de Catalangetallen:
c + c²+ 2c³ + 5c⁴ + 14c⁵ + 42c⁶ + 132c⁷ + 429c⁸ + 1430c⁹ + 4862c¹⁰ + 16796c¹¹ + …

Een wonderlijk verband toch? Als je weet dat de lemniscaat voor n oneindig de Mandelbrotverzameling zelf is en weet dat de Mandelbrotveelterm voor n oneindig bijna gelijk is aan de genererende functie van de Catalangetallen, dan kan je zeggen dat de Mandelbrotfractal in zich de informatie bevat over alle Catalangetallen. Good Math, Bad Math is overigens begonnen met een serie over fractals en bespreekt ook de Mandelbrotverzameling.