QED

The Harvard College Mathematics Review is een nieuw halfjaarlijks tijdschrift voor wiskundestudenten, waarvan het eerste nummer nu te downloaden is. Alexander Ellis schrijft een interessant artikel over de Eulerkarakteristiek, Igor Rapinchuk over Dirichlets beroemde stelling over priemgetallen in rekenkundige rijen en Noam Elkies over het ABC-vermoeden.

Het nummer eindigt met een leuke anekdote van Dennis Gaitsgory: How to compute determinants. Tijdens zijn doctoraat moest hij een klas lineaire algebra geven om 8 uur ’s ochtends en hij was daar nooit uitgeslapen of voorbereid. Op een keer was Gaitsgory determinanten aan het uitleggen en zei:

“You know, for a generic matrix a determinant is never zero. Somebody, give me an example of a matrix!”

Toen niemand antwoordde, schreef hij op het bord de matrix die als eerste in hem opkwam en begon de determinant te berekenen:

| 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |

Na tien minuten rekenen (hij moet echt niet uitgeslapen zijn) was het resultaat 0, Gaitsgory mompelde dat hij een fout moest gemaakt hebben en begon het opnieuw na te rekenen. Het resultaat was natuurlijk weeral 0. Zijn commentaar:

“OK, but sometimes the determinant is zero. Sorry. But now let’s take a really generic matrix.”

|  1  2  3  4 |
|  5  6  7  8 |
|  9 10 11 12 |
| 13 14 15 16 |

Het resultaat laat zich natuurlijk raden. Gaitsgory concludeert:

Another lengthy computation. . . .
At the end of that semester I was forced to enroll in a special seminar for delinquent instructors.

Als hij die ochtend wat wakker was geweest, had hij onmiddellijk gezien dat zijn voorbeelden niet-inverteerbaar waren en dus als determinant 0 hadden. De kolommen van zijn voorbeeldmatrices zijn namelijk lineair afhankelijk: elke kolom is gelijk aan 2 maal de vorige kolom min de kolom voor de vorige, omdat 2(n + 1) - n = n + 2. En dat is zo voor elke vierkante matrix groter dan de 2×2 matrix gevuld met opeenvolgende getallen. Of: bezint eer ge (met voorbeelden) begint…