Comments on: p2 - 1 is deelbaar door 24

By: Arno van Asseldonk

Arno van Asseldonk — Sat, 23 Feb 2008 16:56:09 +0000

@Maxima: Een ander tegenvoorbeeld voor de uitspraak “Een samengesteld oneven getal is altijd deelbaar door 3, 5, 7, 11 of 13″ is het getal 51. Dit heeft de priemfacoren 3 en 17. Er geldt wel dat een samengesteld oneven getal uitsluitend in oneven priemfactoren is te ontbinden, en dat 3 de laagst mogelijke oneven priemfactor is.

By: Koen Vervloesem

Koen Vervloesem — Wed, 20 Feb 2008 10:22:27 +0000

Dat klopt niet. Neem bijvoorbeeld het oneven niet-priemgetal 323: dit is deelbaar door 17 en 19, maar niet door 3, 5, 7, 11 of 13.

By: Maxima

Maxima — Wed, 20 Feb 2008 10:16:04 +0000

Hallo. Bekend is mij dat oneven niet priemgetallen altijd deelbaar zijn door 3,5,7,11 of 13. Ik vraag mij af hoe dit te bewijzen is. Weet u een manier om dit te bewijzen? Ik hoop op een reactie. Alvast bedankt.

By: aliaspg

aliaspg — Thu, 26 Apr 2007 21:06:18 +0000

Het werkt ook voor q=7 en a=5, dat was ik nog vergeten. 5^6 - 1 = 15624 = 24*7*93. Merkwaardig.

By: aliaspg

aliaspg — Thu, 26 Apr 2007 20:56:35 +0000

Maar voor q=7 en a=11, a=13, a=17, a=19, a=23, a=25 (!!), a=29, a=31 geeft de formule a^(q-1) - 1 wel getallen deelbaar door 24 en door 7. Net als voor a=25.

A=9, a=15, a=27 en a=33 werken niet voor de delers 24 en 7.

Zou de stelling zijn:

“Neem een priemgetal q. Neem een a niet deelbaar door 2, 3 en q. Dan is a^(q-1) - 1 deelbaar door 2^3*3*q” ?

Mmm… Ik raak geen klap verder… Nachtje over slapen.

Veel succes met je thesis!

Dit is overigens allemaal wonderlijk. Het doet me -als u mij permitteert!- twijfelen aan het idee dat de wiskunde een “sociale constructie” is. Of beter gezegd: aan het idee dat de beschrijving “sociale constructie” ook maar iets toevoegt aan wat alle wiskundigen al weten.

By: aliaspg

aliaspg — Thu, 26 Apr 2007 20:30:03 +0000

Neen, dat klopt helaas niet. Voor q=7 en a=13 spreekt mijn Casio me tegen. Niet deelbaar door 5.

By: aliaspg

aliaspg — Thu, 26 Apr 2007 20:20:17 +0000

Overigens… hier stelt zich de vraag… wat is de algemene vorm van de stelling?

Is het dit?

“Neem een priemgetal q. Noem q1, q2… de priemgetallen kleiner dan q. Q1=2, q2=3, q3=5 enzovoort.

Neem a oneven en niet deelbaar door q. Dan is is a^(q-1) - 1 deelbaar door q1^3*q2*…*q.”

Lijkt me interessant om te bewijzen. Of toch te proberen.

Dat a^(q-1) - 1 deelbaar is door q volgt alvast uit Fermat…

By: Koen Vervloesem

Koen Vervloesem — Thu, 26 Apr 2007 20:14:56 +0000

Bedankt trouwens voor de tip om de kleine stelling van Fermat hier te gebruiken, daar had ik nog niet aan gedacht. Het zorgt natuurlijk voor minder ‘elementaire’ bewijzen, terwijl bewijs 2 zoals ik het hier voorstel door een middelbare scholier met een minimale basiskennis van getaltheorie kan begrepen worden.

By: aliaspg

aliaspg — Thu, 26 Apr 2007 19:58:40 +0000

OK, ik liet dit maar weten omdat ik dacht dat je die stelling besprak in je thesis. Dan kan je niet nauwkeurig (pedant?) genoeg zijn. Ik heb mijn bewijs even opgesteld omdat het “manifest” van de veronderstelling vertrekt dat p oneven is en niet deelbaar is door drie.

Misschien moet je ook even kijken naar je uitbreiding naar p^4 - 1. Een striktere formulering is hier (evident) dat voor p oneven en niet deelbaar door 3 of 5 de uitdrukking p^4 - 1 deelbaar is door 120.

Bijvoorbeeld: 49^4 - 1 = 48040 * 120

Hier kan overigens weer met vrucht de kleine stelling van Fermat gebruiken, die zonder enig rekenwerk bevestigt dat voor p niet deelbaar door 5 de uitdrukking p^4 - 1 deelbaar is door 5.

By: Koen Vervloesem

Koen Vervloesem — Thu, 26 Apr 2007 12:42:50 +0000

Dat klopt, maar daar is dan ook maar een kleine aanpassing in bewijs 2 voor nodig: op maar één plaats wordt daar het feit gebruikt dat p een priemgetal groter dan 3 is, en daar kan je dat zonder moeilijkheden vervangen door p is niet deelbaar door 3. Dat is dan ook een voordeel van het bewijs: dat het met een triviale aanpassing meer bewijst dan gevraagd is.

By: aliaspg

aliaspg — Thu, 26 Apr 2007 11:45:22 +0000

bewjs 2 is het mooiste, maar heeft één groot gebrek: het vergeet aan te tonen dat p helemaal geen priemgetal hoeft te zijn

het is voldoende dat p oneven is en ondeelbaar door drie

25^2 - 1 = 624 = 26 * 24

een klein bewijsje hiervan staat op de blog van de conceptuele ingenieur

een variant hiervan:

p is niet deelbaar door drie
dan p = 3m + 1 of p = 3m + 2 (m= 0,1,2…)

p^2 - 1 = 9m^2 + 6m, of
p^2 - 1 = 9m^2 + 12m + 3

beiden deelbaar door 3

(Je kan ook de kleine stelling van Fermat gebruiken)

analoog

p is oneven dan
p = 4m + 1 of 4m + 3

uitrekenen geeft weer dat p^2 - 1 deelbaar is door acht

en dan verder zoals in de bewijzen hierboven.