QED

In het maartnummer van de Notices of the American Mathematical Society worden drie van de recentste winnaars van de Fields Medal geïnterviewd: Andrei Okounkov, Terence Tao en Wendelin Werner. Grigori Perelman weigerde niet alleen de prijs, maar ook een interview. Wil je weten waarvoor deze wiskundigen de prestigieuze prijs gekregen hebben, dan vind je in het artikel The Mathematical Work of the 2006 Fields Medalists een goede uitleg van hun werk (inclusief dat van Perelman).

De interviews zijn interessant om te lezen, omdat je ziet hoe deze topwiskundigen over wiskunde denken. Andrei Okounkov relativeert bijvoorbeeld het belang van competitie in wiskunde (zoals wie een stelling als eerste bewezen heeft) en de bijbehorende prijzen:

While kids take solving puzzles perhaps a bit too seriously, grown-ups place the ultimate value on being the first to prove something. A first complete proof, while obviously very important, is only a certain stage in the development of our knowledge. Often, pioneering insights precede it and a lot of creative work follows it before a particular phenomenon may be considered understood. It is thrilling to be the first, but a clear proof is for all and forever.

Okounkov relativeert zo ook de Fields Medal, want ze “distracts us from achieving the true goal of science, which is to understand our world.”

Hij vindt overigens dat elke wiskundige heel wat moeite zou moeten doen om zijn resultaten uit te leggen aan anderen, wiskundigen buiten zijn vakgebied én niet-wiskundigen. Hij zegt dit heel mooi:

Wouldn’t it be a shame if something you understood were to exist only as a feeble neuron connection in your brain?

Okounkov vindt ook dat computers geen bedreiging vormen voor de jobmarkt van wiskundigen en dat ze zeker hun plaats mogen hebben in bewijzen:

Computers are no more a threat to mathematicians than food processors are a threat to cooks. As mathematics gets more and more complex while the pace of our lives accelerates, we must delegate as much as we can to machines. And I mean both numeric and symbolic work. Some people can manage without dishwashers, but I think proofs come out a lot cleaner when routine work is automated.

Terence Tao heeft dan weer een bepaalde visie op intuïtie in de wiskunde:

One has to keep alternating between intuition and rigor to make progress on a problem, otherwise it is like tying one hand behind your back.

Hij heeft trouwens een hele goeie tip om wiskundige problemen op te lossen:

I also find it helpful to anthropomorphize various mathematical components of a problem or argument, such as calling certain terms “good” or “bad”, or saying that a certain object “wants” to exhibit some behavior, and so forth. This allows one to bring more of one’s mental resources (beyond the usual abstract intellectual component of one’s brain) to address the problem.

Daar zit volgens mij zeker iets in. Ons brein is evolutionair gezien niet aangepast om heel abstract te redeneren, dus het is al een wonder dat we zoveel mooie wiskunde hebben kunnen opbouwen. Als we over wiskunde denken in concepten die we in ons dagelijks leven gebruiken, is het logisch dat dat gemakkelijker resultaten oplevert.

Over computerbewijzen heeft ook Tao een eigen mening. Net als Okounkov vindt hij dat computers een rol in wiskundige bewijzen kunnen hebben, maar hij heeft wel een voorwaarde:

I think such proofs can be satisfactory if the computational component of the proof is merely confirming some expected or unsurprising phenomenon (e.g., the absence of sporadic solutions to some equation, or the existence of some parameters that obey a set of mild conditions), as opposed to demonstrating some truly unusual and inexplicable event that cries out for a more human-comprehensible analysis. In particular, if the computer-assisted claims in the proof already have a firm heuristic grounding then I think there is no problem with using computers to establish the claims rigorously.