QED

In PC-Active nummer 200, die nu in de winkels ligt, heb ik een artikel geschreven over de Mandelbrotverzameling, een fractal die een schitterend landschap met een oneindige complexiteit herbergt. Met een computerprogramma zoals Xaos of Fractint kan je de fractal visualiseren en er op blijven inzoomen. De Mandelbrotverzameling is een hele wereld waarin je, dankzij de wiskundige Benoît Mandelbrot, kan blijven ronddwalen en nieuwe fascinerende landschappen kan ontdekken. Je neemt best een gids mee, zoals Robert Munafo’s online encyclopedie van de Mandelbrotverzameling. Ik laat je hier ook enkele afbeeldingen zien van mijn wandelingen door het Mandelbrotlandschap.

Op heel wat plaatsen kan je minuscule kopieën zien van de fractal in zijn geheel (daarom is het ook een fractal), maar het intrigerende is dat al die kopies verschillen in de details. Als je links op de ‘tak’ inzoomt, kom je bijvoorbeeld de volgende mini-Mandelbrots tegen:

Helemaal vanboven in de vertakkingen vind je deze:

De regio helemaal rechts aan de Mandelbrotverzameling heet de Olifantenvallei:

Hierin vinden we mooie, kleurrijke spiralen zoals deze twee:

En spiralen die samensmelten:

Als we verder inzoomen, komen we midden in deze spiralen weer een mini-Mandelbrotverzameling tegen…

De Mandelbrotverzameling heeft ook heel wat mooie sterstructuren:

Hoe komen we tot deze mooie plaatjes? De definitie van de Mandelbrotverzameling is eigenlijk heel eenvoudig, en dat is verwonderlijk als je kijkt hoe complex de plaatjes ervan zijn. Het is een verzameling van complexe getallen gedefinieerd door de iteratieve functie f(z) = z² + c. Op elk complex getal c van het complexe vlak voeren we deze functie herhaaldelijk uit. We beginnen met z = 0 en vullen dan het getal c in. Dit geeft een nieuwe waarde voor z en die vullen we samen met c in om een nieuwe z te krijgen. We herhalen dit en bekijken hoe |z| evolueert. Er zijn twee mogelijkheden: ofwel blijft deze kleiner dan 2, ofwel gaat ze naar oneindig. Blijft deze kleiner dan 2, dan behoort het punt c tot de Mandelbrotverzameling. Wordt |z| groter dan 2, dan behoort het punt c niet tot de Mandelbrotverzameling. Anders gezegd: de Mandelbrotverzameling is de verzameling van punten c waarvoor de verzameling {0, |f(0)|, |f(f(0))|, |f(f(f(0)))|, …} begrensd is.

De punten die tot de Mandelbrotverzameling behoren, worden in het complexe vlak meestal in het zwart getekend. De andere punten zijn dan wit. We kunnen echter heel wat kleurrijker plaatjes bekomen, als we de punten die niet tot de verzameling behoren een kleur geven naargelang hoeveel iteraties ze nodig hadden om de grootte 2 te overschrijden. Hoe minder iteraties het punt nodig heeft om groter dan 2 te worden, hoe sneller het divergeert. Voor nog mooiere plaatjes, passen we een continu kleurverloop toe. Zo bekomen we de plaatjes die ik hier heb laten zien, met het programma Xaos gemaakt. Wie zelf plaatjes wil maken van de plaatsen die ik hier heb getoond, kan bestanden met coördinaten downloaden van de website van PC-Active. Met het programma Xaos kan je die bestanden openen, verder in het landschap rondwandelen en plaatjes op hoge resolutie aanmaken. In mijn artikel in PC-Active vind je trouwens nog meer uitleg over de structuur van deze mooie fractal.